Martin Yavryan wurde in Jerewan (Armenien) geboren. Seinen ersten Geigenunterricht erhielt er mit sieben Jahren. Er studierte an den Musikuniversitäten in Jerewan, Freiburg und Trossingen bei Artasches Mkrtchyan, Rainer Kussmaul und Christian Ostertag. Außerdem besuchte er Meisterkurse bei Maria Egelhof, Tibor Varga, Zachar Bron, Kolja Blacher u.a.

Seit 1994 steht Martin Yavryan mit verschiedenen Orchestern als Solist auf der Bühne, darunter das Philharmonische Orchester Armenien, das Philharmonische Orchester Rheinland-Pfalz, Baden- Badener Philharmonie, SWD Kammerorchester Pforzheim, das Philarmonische Orchester des Staates Baschkortostan (Russland), Sinfonieorchester Pohang (Südkorea) u.v.m.

Vom 2000 bis 2001 spielte Martin Yavryan im „Kchachaturian” Streichquartett. Im Jahr 2005 gründete er während des Verbier Festivals das „Arev” Streichquartett. Mit diesem Quartett hat er im Radio Swiss Romande und dem Bayerischen Rundfunk gespielt.

Während seiner musikalischen Laufbahn gewann er zahlreiche Preise, darunter einen ersten Preis beim internationalen Khachaturian Violinwettbewerb und den dritten Preis beim 1. internationalen Violinwettbewerb Freiburg, sowie auch Preise bei den Yfrah Neaman, Kloster Schöntal und Ludwig Spohr Violinwettbewerben.
2006 wurde ihm der Preis des armenischen Staatspräsidenten im Fach Instrumentale Musik überreicht.
Von 2007 bis 2010 war er Stipendiat der Friedrich-Ebert Stiftung.

Seit 2010 ist er im Tiroler Symphonieorchester Innsbruck als Konzertmeister tätig.